MECÂNICA GRACELI - QUÂNTICA TENSORIAL DE CAMPOS [600]

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

[

$\psi ^{*}$

$TeoriaInteraçãomediadorMagnitude relativaComportamentoFaixaCromodinâmicaForça nuclear forteGlúon10411/r71,4 × 10-15 mEletrodinâmicaForça eletromagnéticaFóton10391/r2infinitoFlavordinâmicaForça nuclear fracaBósons W e Z10291/r5 até 1/r710-18 mGeometrodinâmicaForça gravitacionalgráviton101/r2infinito$

Teoria	Interação	mediador	Magnitude relativa	Comportamento	Faixa
Cromodinâmica	Força nuclear forte	Glúon	1041	1/r7	1,4 × 10-15 m
Eletrodinâmica	Força eletromagnética	Fóton	1039	1/r2	infinito
Flavordinâmica	Força nuclear fraca	Bósons W e Z	1029	1/r5 até 1/r7	10-18 m
Geometrodinâmica	Força gravitacional	gráviton	10	1/r2	infinito

A renormalização é um conjunto de técnicas utilizadas para eliminar os infinitos que aparecem em alguns cálculos em Teoria Quântica de Campos.^[1] Na mecânica estatística dos campos^[2] e na teoria de estruturas geométricas auto-similares,^[3] a renormalização é usada para lidar com os infinitos que surgem nas quantidades calculadas, alterando valores dessas quantidades para compensar os efeitos das suas auto-interações. Inicialmente vista como um procedimento suspeito e provisório por alguns de seus criadores, a renormalização foi posteriormente considerada uma ferramenta importante e auto-consistente em vários campos da física e da matemática. A renormalização é distinta da outra técnica para controlar os infinitos, regularização, que assume a existência de uma nova física desconhecida em novas escalas.^[4]

Renormalização em EDQ

Em Lagrangeano de EDQ,

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

{\mathcal {L}}={\bar {\psi }}_{B}\left[i\gamma _{\mu }\left(\partial ^{\mu }+ie_{B}A_{B}^{\mu }\right)-m_{B}\right]\psi _{B}-{\frac {1}{4}}F_{B\mu \nu }F_{B}^{\mu \nu }

Os campos e a constante de acoplamento são realmente quantidades "cruas", por isso, o índice $B$ acima. Convencionalmente, as quantidades cruas são escritas de modo que os termos lagrangianos correspondentes sejam múltiplos dos renormalizados:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\left({\bar {\psi }}m\psi \right)_{B}=Z_{0}{\bar {\psi }}m\psi

\left({\bar {\psi }}\left(\partial ^{\mu }+ieA^{\mu }\right)\psi \right)_{B}=Z_{1}{\bar {\psi }}\left(\partial ^{\mu }+ieA^{\mu }\right)\psi

\left(F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\right)_{B}=Z_{3}\,F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }.

Teoria de gauge e Identidade de Ward-Takahashi^[5]^[6] implicam que podemos renormalizar os dois termos da parte derivada covariante ${\bar {\psi }}(\partial +ieA)\psi$ juntos^[7], que é o que aconteceu para $Z 2$ , é o mesmo com $Z 1$ .^[8]

Numa teoria quântica de campos, a regularização de divergências e a renormalização são geralmente vistas apenas como técnicas para tornar funções de correlações finitas. Contudo, elas possuem um significado físico muito profundo e mais importante: a descrição de teorias quânticas de campos mudam conforme a escala de energia. Essa ideia foi introduzida por Kenneth Wilson^[1] e é quantificada pelas equações do grupo de renormalização.

Grupo de renormalização no espaço de momentos

Suponha uma teoria quântica de campos com campos $\phi (x)$ e constantes de acoplamento $�$ descrita pela ação clássica $S(\phi ,g)$ . Vamos considerar a expansão em modos de Fourier de $\phi (x)$

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\phi (x)=\int dk\;e^{ikx}\;{\hat {\phi }}(k)

Usualmente, a integral é sobre todas as frequências $0\leq |k|\leq \infty$ . Neste caso, várias funções de correlação podem não ser bem definidas. Uma forma de regularizar a teoria é introduzir uma frequência de corte ultravioleta $\Lambda _{UV}$ . Isto é, limitamos a integral ao disco

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

|k|\leq \Lambda _{UV}

Chamaremos esse campos de $\phi _{0}(x)$ e diremos que ele é o campo na escala $\Lambda _{UV}$ . Então

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\phi _{0}(x)=\int _{0\leq |k|\leq \Lambda _{UV}}dk\;e^{ikx}\;{\hat {\phi }}(k)

Também chamaremos a constante de acoplamento de $g_{0}$ . A função partição sobre os campos $\phi _{0}(x)$ é

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

Z=\int {\mathcal {D}}\phi _{0}\;e^{-S(\phi _{0},g_{0})}

Já que alguns dos modos de Fourier estão faltando, o campo $\phi _{0}(x)$ é praticamente constante em distâncias menores que $\Delta x\simeq 1/\Lambda _{UV}$ . Então, introduzir uma frequência de corte ultravioleta é o mesmo que introduzir um corte em pequenas distâncias. É óbvio que a introdução desse limite quebra a simetria de Poincaré. Eventualmente, vamos tomar o limite do contínuo $1/\Lambda _{UV}\rightarrow 0$ , onde a simetria de Poincaré é recuperada. A questão de renormalizabilidade é se podemos fazer isso mantendo as quantidades físicas numa escala de energia finita $\mu$ regulares.^[2]

Vamos decompor a região de integração da expansão em modos em duas partes:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

0\leq |k|\leq \mu

\mu \leq |k|\leq \Lambda _{UV}

Chamaremos as expansões em modos correspondentes por

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\phi _{B}(x)=\int _{0\leq |k|\leq \mu }dk\;e^{ikx}\;{\hat {\phi }}(k)

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\phi _{A}(x)=\int _{\mu \leq |k|\leq \Lambda _{UV}}dk\;e^{ikx}\;{\hat {\phi }}(k)

onde B e A referem-se a Baixas e Altas energias. Nós gostaríamos de estudar o comportamento da teoria em energias menores que $\mu$ , por exemplo, amplitudes de espalhamento de partículas com momentos $\leq \mu$ . O que procuramos então é uma ação que descreva esses efeitos somente em termos de $\phi _{B}(x)$ . Ela pode ser obtida integrando sobre $\phi _{A}(x)$ na integral de trajetória, mantendo $\phi _{B}(x)$ variável

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

e^{-S_{eff}(\phi _{A},g_{0})}=\int {\mathcal {D}}\phi _{A}\;e^{-S(\phi _{B}+\phi _{A},g_{0})}

Isso é chamado teoria de campos efetiva na energia $\mu$ . Por vezes, quando tomamos o limite para o contínuo $\Lambda _{UV}/\mu \rightarrow \infty$ , a expressão para a ação fica divergente e isso é a indicação que precisamos mudar a descrição da teoria em baixas energias. Nos casos mais drásticos, precisamos encontrar um novo conjunto completamente novo de campos e simetrias para descrever a teoria. Contudo, em muitos casos, a mudança de variáveis e parâmetros têm a forma:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

g_{0}=g_{0}(g,{\frac {\Lambda _{UV}}{\mu }})

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\phi _{0}(x)=Z(g,{\frac {\Lambda _{UV}}{\mu }})\phi (x)+\phi _{A}(x)

Aqui, $\phi (x)$ e $�$ são os novos campos, em termos dos quais a ação efetiva

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

e^{-S_{eff}(\phi ,g,\mu )}=\int {\mathcal {D}}\phi _{A}\;e^{-S(\phi _{0},g_{0})}

é regular no limite para o contínuo. Os campos $\phi _{0}(x)$ e as contantes $g_{0}$ na escala de corte $\Lambda _{UV}$ são chamados de campos nus e constantes de acoplamentos nuas, enquanto $\phi (x)$ e $�$ são ditas renormalizados.

Equação de Callan-Symanzik

Se pode olhar para essa mudança de campos e constantes de duas formas. Uma forma de ver é fixar $\mu$ e variar $\Lambda _{UV}$ . Nós fixamos os campos $\phi (x)$ e constantes de acoplamento $�$ numa escala $\mu$ (com os valores medidos nessa escala) e mudamos os campos nus $\phi _{0}(x)$ e as contantes nuas $g_{0}$ . Se pudermos mover $\Lambda _{UV}$ para o infinito sem mudar o comportamento do sistema na energia $\mu$ (descrito por $\phi (x)$ e $�$ ), então, nesse limite, obtemos uma teoria quântica de campos com simetria de Poincaré.

Uma outra forma de ver é mover $\mu$ , fixando $\Lambda _{UV}$ e consequentemente $\phi _{0}(x)$ e $g_{0}$ . Desta forma, o campo renormalizado e a constante de acoplamento renormalizada é que mudam com a escala. Essa constante é dita constante de acoplamento corredora. Em particular, se mudamos a escala de $\mu _{1}$ para $\mu _{2}$ , as constantes de acoplamento mudarão de $g_{1}=(g_{0},{\frac {\mu _{1}}{\Lambda _{UV}}})$ para $g_{2}=g(g_{0},{\frac {\mu _{2}}{\Lambda _{UV}}})$ , onde $g(g_{0},{\frac {\mu }{\Lambda _{UV}}})$ é a inversa da função definida anteriormente. Com efeito, definindo um campo com contribuições dos modos de Fourier entre $\mu _{1}\leq |k|\leq \mu _{2}$ , podemos repetir o raciocínio e escrever $g_{2}=g(g_{1},{\frac {\mu _{2}}{\mu _{1}}})$ . Desta forma, uma mudança de escala induz uma mudança das contantes de acoplamento através do campo vetorial

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\beta (g)=\mu {\frac {d}{d\mu }}g(g_{1},{\frac {\mu }{\mu _{1}}})|_{g_{1}=g,\mu _{1}=\mu }

Essa equação é chamada de equação de Callan-Symanzik^[3] e o campo vetorial $\beta (g)$ é chamado função beta da constante de acoplamento $�$ .

Pesquisar este blog

MECÂNICA GRACELI - QUÂNTICA TENSORIAL DE CAMPOS [600]

Renormalização em EDQ

Grupo de renormalização no espaço de momentos

Equação de Callan-Symanzik

Comentários

Postar um comentário

Postagens mais visitadas deste blog